第九章 第二型曲面积分（数一）

接住上一课

第一型曲面积分不定向，第二型表示向量场穿过有向曲面的通量。闭曲面通常取外侧，并可用Gauss公式转成体积分。

教师带你完成主模型

单位球面外向计算向量场F=(x,y,z)的通量。散度divF=3，由Gauss公式通量为∭_Ω3dV=3·4π/3=4π。若改为内向，结果变号。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

Gauss公式要求闭曲面、规定外向且场在体内足够光滑。开放曲面可补面闭合，再减补面通量。直接投影时法向方向决定符号。

我会追问的易错点

忽略定向、开放面直接套Gauss、场在内部奇异仍套公式，是三类错误。通量结果应结合场向外或向内的几何趋势检查符号。

迁移到下一题

计算F=(x,y,z)穿过半径R球面的外向通量，并用直接观察F与外法向平行核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。