第二章 隐函数求导

接住上一课

反函数求导先寻找输入输出对应点；隐函数则由F(x,y)=0局部限定关系。刷题时不必先显式解出y，但每次对含y项求导都要乘y'。

教师带你完成主模型

曲线x²+y²=5在(1,2)处求斜率。两边对x求导得2x+2yy'=0，所以y'=-x/y=-1/2。也可写F_x=2x、F_y=2y，使用y'=-F_x/F_y。点必须满足原方程且F_y不为0。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

求二阶导时要对一阶隐式关系继续求导，并把y'作为x的函数处理。例如2x+2yy'=0再次求导为2+2(y')²+2yy''=0。含指数或对数时同样逐层使用链式法则。

我会追问的易错点

对y²只写2y、公式-F_x/F_y分子分母倒置、代入不在曲线上的点，是三类错误。若F_y=0，不能直接断言无切线，应改查是否能局部把x表示为y或是否出现竖直切线。

迁移到下一题

对x²+xy+y²=7求y'与y''，在(1,2)代值；完成后用局部数值点估计切线斜率进行反查。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 高数计算遵循“识型—核条件—计算—反查”；反查可用定义、Taylor、求导、代回、量级或区域。边界：定理名称不能替代成立条件。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。