第五章 隐函数的偏导计算

接住上一课

全微分可直接处理隐式关系。若F(x,y,z)=0且F_z不为0，局部可把z看成x、y的函数并由dF=0整理偏导。

教师带你完成主模型

球面x²+y²+z²=9在(1,2,2)处，z_x=-F_x/F_z=-2x/(2z)=-1/2，z_y=-y/z=-1。点满足球面方程，且F_z=4不为0，公式可用。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

多个方程确定多个隐函数时可对方程组分别求全微分，解线性方程组得到偏导。所有偏导必须在同一对应点计算，分母或Jacobian非零是局部可解条件。

我会追问的易错点

公式分子分母倒置、漏负号、不检查点是否满足原关系、忽略分母为零，是四类错误。局部可解不代表全局单值，球面上下半支需区分。

迁移到下一题

对x²+y²+z²=R²求z_x、z_y和切平面法向量，解释偏导公式与梯度法向量之间的联系。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 多元可微推出连续和偏导存在；偏导存在不必可微。闭区域最值要同时检查内部驻点和边界。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。