第三章 变限积分

接住上一课

定积分应用处理固定区间累积，变限积分把端点变成变量并生成新函数。核心是基本定理加链式法则。

教师带你完成主模型

F(x)=∫_0^{x²}cos t dt，则F'(x)=cos(x²)·2x，所以F'(1)=2cos1。积分变量t只是哑变量；先把被积函数在上限x²处取值，再乘上限导数。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

一般公式d/dx∫_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b)b'-f(a)a'。上下限都有变量时保留两项；被积函数还显含x时要加入对x偏导的积分项。

我会追问的易错点

漏链式因子、下限项漏负号、把t当x直接求导，是三类常错。若上下限同为常数，导数应为0，可用于检查公式。

迁移到下一题

求G(x)=∫_x^{x²}e^{t²}dt的一阶导，在x=1代值；说明上下限此时相同却不意味着导数必为零。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。