第九章 第一型曲线积分（数一）

接住上一课

多元积分应用从区域转到曲线。第一型曲线积分按弧长ds累积，与参数走向无关，可表示线密度产生的总质量。

教师带你完成主模型

单位圆C上计算∫_C1ds。参数化r(t)=(cost,sint)，0≤t≤2π，速度模sqrt((-sint)²+(cost)²)=1，所以积分为∫_0^{2π}1dt=2π，即圆周长。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

一般∫_C fds=∫_a^b f(x(t),y(t))sqrt((x')²+(y')²)dt。更换参数或反向不改变结果。分段光滑曲线要逐段累加。

我会追问的易错点

把ds直接写dt而漏速度模、反向后错误变号、参数区间漏一段，是三类错误。常数1的第一型曲线积分必须等于曲线长度，可作反查。

迁移到下一题

计算螺旋线r(t)=(cost,sint,t),0≤t≤2π上的∫1ds，先求速度模再积分。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。