第七章 已知解，反求微分方程

接住上一课

前两课由方程求解，本课反向从函数族或已知解恢复微分关系。关键是消去任意常数，并保证所得方程的阶数与独立常数个数相匹配。

教师带你完成主模型

已知一参数函数族y=Ce^{2x}。求导得y'=2Ce^{2x}=2y，消去C得到一阶方程y'-2y=0。对特解y=e^{2x}，有y'(0)=2。把原函数族代回可验证任意C都满足。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

含n个独立任意常数的函数族通常通过求导n次并消元得到n阶方程。若已知一组基本解，可构造对应特征根；但只给单个特解不能唯一确定全部可能方程，题目还需指定阶数或形式。

我会追问的易错点

未消尽常数、求导次数不足、把某个特解满足的方程误认为唯一方程，是反求题三错。得到方程后应将整个函数族而非只代一个参数值验证。

迁移到下一题

由y=C1e^x+C2e^{-x}消去C1、C2，得到二阶方程；通过特征根±1反查方程。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。