第四章 考点三 不等式的证明

接住上一课

中值定理提供端点差与导数的桥梁。不等式证明先移项构造辅助函数，再选单调性、凸性、Taylor余项或中值定理，避免对原式盲目变形。

教师带你完成主模型

证明e^x≥1+x。令F=e^x-1-x，则F'=e^x-1，在x<0为负、x>0为正，所以F在0取得全局最小值F(0)=0。于是结论成立且等号仅在x=0。对应地，e^x-x的最小值为1。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若目标含函数差，可用拉格朗日中值定理；含二阶弯曲性可用凸函数切线性质；局部高阶估计可用Taylor公式并控制余项符号。平方、对数和分母操作前要核验定义域与保号。

我会追问的易错点

移项后导数符号表写反、平方两边却不检查非负、Taylor展开截断后忽略余项，是证明题三类逻辑缺口。数值试验只能发现反例，不能代替全区间证明。

迁移到下一题

证明lnx≤x-1（x>0），分别用辅助函数单调性和拉格朗日中值定理；写明等号条件。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 高数计算遵循“识型—核条件—计算—反查”；反查可用定义、Taylor、求导、代回、量级或区域。边界：定理名称不能替代成立条件。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。