第七章 微分方程综合应用题

接住上一课

解法掌握后进入建模：把变化率翻译成未知函数的方程，再用初值确定参数。增长衰减、冷却、混合与振动都要先写单位和符号。

教师带你完成主模型

环境温度20，物体温度满足T'=-k(T-20)，T(0)=100。若T(1)=60，则40=80e^{-k}，故e^{-k}=1/2。于是T(2)=20+80(e^{-k})²=40。温差而非温度本身按指数衰减。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

建模步骤为定义变量、写速率关系、核对符号与单位、解方程、代初值。增长率与现有量成正比用y'=ky；有稳定平衡值L时常写y'=-k(y-L)。答案应回到实际范围。

我会追问的易错点

把冷却写成T'=-kT而忽略环境温度、衰减常数符号错误、求出参数后忘记代回目标时刻，是应用题三错。

迁移到下一题

建立药物清除模型M'=-kM，给定半衰期求k并预测两个半衰期后的剩余比例；解释为何结果与初始剂量成比例。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。