第六章 二重积分的计算

接住上一课

概念与性质课明确二重积分是区域累积。本课专项训练直角坐标、换序、极坐标与对称性；所有计算都从画区域和读取扫描线开始。

教师带你完成主模型

在D={0≤y≤x≤1}上计算∬(x+y)dA。按先y后x写为∫_0^1∫_0^x(x+y)dydx=∫_0^1(3x²/2)dx=1/2。若换序，区域写成0≤y≤1、y≤x≤1，结果应相同。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

X型区域写a≤x≤b、φ1(x)≤y≤φ2(x)；Y型区域反向读取。圆、扇形与径向函数考虑极坐标并补Jacobian r。边界公式中途变化必须分区，不能用一组上下限强行覆盖。

我会追问的易错点

只交换dx、dy而沿用旧边界、极坐标漏r、内层上下限含内层积分变量，是三类错误。完成后用被积函数范围乘区域面积检查符号和量级。

迁移到下一题

把三角形0≤y≤x≤1改写为先x后y并重算；再计算同一区域上∬1dA验证区域面积为1/2。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。