第八章 常数项级数的审敛法（数一、数三）

接住上一课

概念课把目标锁定为部分和。本课为正项级数选择比较、极限比较、比值、根值或积分判别，并区分只判敛散和求出精确和。

教师带你完成主模型

Σ1/[n(n+1)]可裂项为1/n-1/(n+1)，前N项为1-1/(N+1)，故和为1。也可与1/n²比较判收敛，但比较法本身不给精确和。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

0≤a_n≤b_n且Σb_n收敛可推Σa_n收敛；a_n≥b_n≥0且Σb_n发散可推发散。比值或根值极限L<1收敛、L>1发散、L=1失效。

我会追问的易错点

比较方向颠倒、对变号项直接用正项比较、L=1强行结论，是三类错误。等价比较需保证最终正并给出正有限比值。

迁移到下一题

判定Σ(n+1)/(n³+1)的敛散性，并与1/n²做极限比较；再举出比值判别失效的收敛例子。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 级数收敛指部分和有有限极限，通项趋0仅是必要条件；幂级数端点必须逐点判断。边界：比值判别极限为1时失效。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。