第二章 参数方程求导

接住上一课

隐函数通过方程约束x、y，参数方程则让x(t)、y(t)共同由t驱动。只要dx/dt不为0，曲线斜率就是两个变化率的比。

教师带你完成主模型

x=t²+1、y=t³。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3t²/(2t)=3t/2（t≠0），在t=1处为3/2。二阶导不是再对t求一次，而是d²y/dx²=[d/dt(dy/dx)]/(dx/dt)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

参数点先由给定t计算坐标，再求斜率。若dx/dt=0而dy/dt≠0，可能是竖直切线；若两者都为0，需展开或约去共同阶次继续判断。弧长公式为∫sqrt((x')²+(y')²)dt。

我会追问的易错点

把dy/dx写成dy/dt乘dx/dt、求二阶导漏除dx/dt、只看到dx/dt=0就停止，是高频错。参数区间和曲线方向也会影响曲线积分。

迁移到下一题

对x=cos t、y=sin t求一阶与二阶导，在t=π/4代值，并解释所得斜率如何对应单位圆切线。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 微分方程先识型再求通解，以初值定常数并代回原方程。边界：分离变量时被除掉的零因子对应常值解要单独补查。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。