第三章 反常积分

接住上一课

普通定积分边界有限且函数有界；反常积分把无穷区间或奇点截断后取极限。先判奇点位置，再分别讨论每一段。

教师带你完成主模型

∫1^∞x^{-3}dx=lim{R→∞}[-1/(2x²)]_1^R=1/2。一般∫_1^∞x^{-p}dx在p>1收敛。无穷不是可直接代入的数字，答案来自截断极限。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

∫_0^1x^{-p}dx在p<1收敛，与无穷远判据相反。内部奇点要拆成左右两个反常积分，两边都收敛才算收敛。正函数可用比较或极限比较判别。

我会追问的易错点

把无穷直接代原函数、用正负抵消代替两侧收敛、混淆零附近与无穷远p判据，是三类常错。柯西主值存在不等于通常反常积分收敛。

迁移到下一题

分别判定∫_1^∞1/x dx和∫_0^1x^{-1/2}dx，完整写截断参数与极限；再为1/(x-1)在[0,2]拆分奇点。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。