第三章 定积分的定义及性质

接住上一课

不定积分是原函数族，定积分是Riemann和的极限，表示有向累积量。性质题要先看区间、对称性、保序和积分中值，而非急于找原函数。

教师带你完成主模型

计算∫_{-1}^1(x³+2)dx。x³为奇函数，在对称区间积分为0；常数2的积分为2×2=4，因此总值4。使用奇偶性必须同时确认积分区间关于原点对称。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

交换上下限积分变号；上下限相同积分为0；区间可加。若m≤f≤M，则m(b-a)≤∫f≤M(b-a)。连续函数积分中值定理可写∫_a^b f=f(ξ)(b-a)。

我会追问的易错点

把定积分一律当非负面积、看到奇函数却不查区间、把积分不等式方向与区间长度符号混淆，是性质题常错。定积分计算结果不写+C。

迁移到下一题

不直接求原函数，估计∫0^1 e^{-x²}dx的上下界；再利用对称性化简∫{-a}^a[f(x)+f(-x)]dx。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。