第五章 多元函数的基本概念

接住上一课

一元证明专题之后转入多元函数。二元极限要求从所有路径趋近，沿两条路径结果相同只能提供必要证据，不能证明整体极限存在。

教师带你完成主模型

f=x²+xy+y²在(1,2)的值为1+2+4=7。多项式在全平面连续，因此趋近(1,2)时极限也为7。若在原点研究分式极限，可用不同路径否定，或用极坐标一致控制证明。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

定义域要同时处理分母非零、根号和对数等约束。极坐标x=r cosθ、y=r sinθ若能把绝对值控制为只依赖r且趋0的量，才能排除方向影响。

我会追问的易错点

只检查x轴和y轴便宣布极限存在、把分别连续当联合连续、忽略定义域边界，是多元概念三错。反例路径要落在定义域内。

迁移到下一题

研究xy/(x²+y²)在原点的极限，沿y=0与y=x比较；再证明(x²y²)/(x²+y²)趋0。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 多元可微推出连续和偏导存在；偏导存在不必可微。闭区域最值要同时检查内部驻点和边界。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。