第七章 二阶微分方程求解

接住上一课

一阶方程依靠积分因子，二阶常系数线性方程通过特征多项式把微分关系转化为代数根，再由两个初值确定常数。

教师带你完成主模型

y''+y=0的特征根为±i，所以y=C1cosx+C2sinx。由y(0)=0得C1=0，由y'(0)=1得C2=1，故y=sinx，y(π/2)=1。候选解可直接求二阶导代回。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

不同实根对应指数项；重根需乘x；复根α±iβ对应e^{αx}(C1cosβx+C2sinβx)。非齐次总解为齐次通解加一个特解，试探式与齐次项冲突时乘足够次x。

我会追问的易错点

特征方程符号抄错、复根漏指数因子、重根漏x、两个初值都代入y而不计算y'，是四类常错。

迁移到下一题

解y''-2y'+y=0、y(0)=1、y'(0)=0；说明重根1如何产生(C1+C2x)e^x。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。