第二章 导数的计算

接住上一课

定义专项确保概念边界，本课集中训练复合、乘积、商、对数求导与多层链式法则，目标是每一层都能标出来源。

教师带你完成主模型

y=e^{x²}，由链式法则y'=e^{x²}·2x，所以y'(1)/e=2。外层指数函数保持自身，内层x²贡献2x。若函数再乘x，则必须先用乘积法则，再对指数部分使用链式法则。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

y=x^x在x>0可取对数：lny=xlnx，故y'/y=lnx+1。复杂乘积、商和幂指函数适合对数求导。隐函数和参数方程另有结构，但底层仍是链式法则。

我会追问的易错点

链式法则漏内层导数、乘积法则只求一个因子、商法则分子顺序反，是计算三错。完成后可检查奇偶性、单位量级或用差商数值验证。

迁移到下一题

求y=x e^{x²}的导数和x=1处数值，再用乘积法则两项的来源解释为何不能合成单项。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。