第八章 幂级数运算（数一、数三）

接住上一课

上一课确定收敛域，本课在域内逐项求导、积分、乘以x或平移，构造常见函数的级数表达和精确和。

教师带你完成主模型

由Σ_{n=0}∞x^n=1/(1-x)在|x|<1内逐项求导，得Σ_{n=1}∞n x^{n-1}=1/(1-x)²。取x=1/2，级数和为4。运算合法范围先限定在开区间内。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

积分几何级数可得Σx^{n+1}/(n+1)=-ln(1-x)。指标平移时同时修改首项与幂次。逐项求导积分半径不变，但端点要重新判定。

我会追问的易错点

漏掉求导系数n、指标平移后下标错一位、在端点直接沿用开区间公式，是运算三错。可通过展开前几项核对。

迁移到下一题

从几何级数推导Σ_{n=1}∞n x^n=x/(1-x)²，并计算x=1/3时的和；核对首项。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 级数收敛指部分和有有限极限，通项趋0仅是必要条件；幂级数端点必须逐点判断。边界：比值判别极限为1时失效。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。