第二章 反函数求导

接住上一课

普通求导从x到y，反函数把输入输出交换。只要原函数在局部一一对应且导数非零，反函数导数就是原导数在对应点的倒数。

教师带你完成主模型

设f(x)=x+x³，g=f^{-1}。因为f(1)=2，所以g(2)=1；f'(x)=1+3x²，故g'(2)=1/f'(1)=1/4。关键是先由y值找到对应x，再在该x处计算原函数导数，不能直接把y代入f'。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

公式为(f^{-1})'(y0)=1/f'(x0)，其中y0=f(x0)，并要求f'(x0)≠0且局部反函数存在。严格单调常用来保证一一对应。反三角函数导数也可由隐式关系和该公式推出。

我会追问的易错点

把1/f'(x0)写成1/f'(y0)、忘记先求对应点、原导数为零仍硬套倒数，是反函数题三错。原函数图像与反函数图像关于y=x对称，切线斜率互为倒数可作几何反查。

迁移到下一题

设f(x)=e^x+x，g=f^{-1}，求g(1)与g'(1)；先解f(0)=1，再使用倒数公式并说明局部单调性。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 高数计算遵循“识型—核条件—计算—反查”；反查可用定义、Taylor、求导、代回、量级或区域。边界：定理名称不能替代成立条件。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。