第九章 多元函数积分学的应用（数一）

接住上一课

三重积分给出空间累积，本课把二重、三重积分用于质量、质心、转动惯量和几何体积，重点是把密度与几何微元正确组合。

教师带你完成主模型

单位正方形D上薄片密度ρ=x+y，总质量M=∬_D(x+y)dA=1。关于y轴的一阶矩为∬xρdA；质心横坐标为该矩除以M。若密度和区域关于x=y对称，两坐标应相等。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

平面薄片质量用∬ρdA，空间物体用∭ρdV；质心坐标是相应一阶矩除总质量。转动惯量需乘到轴距离的平方。答案应位于物体凸包内且单位正确。

我会追问的易错点

质心只算矩不除质量、转动惯量漏距离平方、把非均匀密度当常数，是应用题三错。对称性只能在区域和密度同时保持时使用。

迁移到下一题

求单位正方形密度ρ=x+y的完整质心，分别计算两个一阶矩，并用x、y交换对称性核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。