第一章 函数极限的计算

接住上一课

理论课建立选择树，本课进行混合结构实战，要求在最短合法路线和可交叉验证路线之间切换，并明确复合小量的系数。

教师带你完成主模型

求lim_{x→0}(e^{2x}-1)/sin3x。拆成[(e^{2x}-1)/(2x)]·[3x/sin3x]·2/3，前两因子趋1，所以答案2/3。Taylor法也给分子2x+o(x)、分母3x+o(x)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若改成ln(1+ax)/tan(bx)，极限为a/b，但要求b≠0且邻域内对数有定义。根式差先有理化，幂指式先取对数，变量在指数与底数同时出现时求g(x)lnf(x)的极限。

我会追问的易错点

漏掉复合函数内部系数、等价替换后仍保留重复的小量因子、把左右极限不同的表达式当双侧极限，都会失分。答案出来后应用Taylor首项或数值取点验证量级。

迁移到下一题

计算lim_{x→0}ln(1+4x)/tan(5x)，再把分子改为ln(1-4x)预测符号并完成复算。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： x→0时sinx~x、e^x-1~x；洛必达仅用于0/0或∞/∞并满足邻域可导条件。边界：等价无穷小不能在发生抵消的和差中机械替换。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。