第四章 考点一 闭区间连续函数的性

接住上一课

积分专项完成后进入证明工具。闭区间连续函数拥有有界性、最值性和介值性；这些结论都依赖‘闭区间+连续’，缺一项便可能失败。

教师带你完成主模型

f(x)=x²在[-1,2]连续，内部驻点x=0与两个端点都要比较：f(-1)=1、f(0)=0、f(2)=4，所以最大值4、最小值0。最值定理保证取得而非只存在上确界。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

介值定理说明连续函数会取得端点函数值之间的每个值；若f(a)f(b)<0，可推出(a,b)内至少一个零点。结论是存在而非唯一，唯一性还需单调性等额外证据。

我会追问的易错点

只查驻点不查端点、在开区间直接声称取得最大值、由端点同号断言无零点，是三类错误。闭区间连续条件应在引用定理前逐项写明。

迁移到下一题

证明方程x³+x-1=0在(0,1)至少有一根，再利用导数严格为正证明根唯一；区分两步各用了什么条件。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 高数计算遵循“识型—核条件—计算—反查”；反查可用定义、Taylor、求导、代回、量级或区域。边界：定理名称不能替代成立条件。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。