第五章 多元函数的极值与最值

接住上一课

全微分与偏导提供局部信息，本课用梯度寻找内部候选，用Hessian分类，并在闭区域补查边界和角点。

教师带你完成主模型

f=x²+y²-4x+6y=(x-2)²+(y+3)²-13，因此全平面最小值-13，在(2,-3)取得。偏导方程也给同一点，Hessian为2I正定。配方法是独立验算。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

令A=f_xx、B=f_xy、C=f_yy、D=AC-B²。D>0且A>0为极小，D>0且A<0为极大，D<0为鞍点，D=0判别失效。约束极值可用拉格朗日乘子。

我会追问的易错点

解出梯度零就直接判极值、D=0强行分类、闭区域漏边界，是三类高频错。不可微点也可能是极值候选，须结合定义域检查。

迁移到下一题

求x²+y²在x+y=1约束下的最小值，分别用代入与拉格朗日乘子法，并用几何距离解释。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 多元可微推出连续和偏导存在；偏导存在不必可微。闭区域最值要同时检查内部驻点和边界。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。