第五章 全微分

接住上一课

偏导只测坐标方向，全微分要求用一个线性式统一逼近任意小增量。可微比偏导存在更强，并能提供近似计算。

教师带你完成主模型

f=ln(x²+y²)，在(1,1)有f_x=f_y=1，所以df=dx+dy。当dx=0.02、dy=-0.01时df=0.01。该值近似真实函数增量，误差相对sqrt(dx²+dy²)应趋0。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

可微推出连续和偏导存在；反向一般不成立。偏导在邻域存在且于该点连续是常用可微充分条件。全微分df=f_xdx+f_ydy是线性主部。

我会追问的易错点

漏写dx、dy，把df写成偏导之和；或者只由偏导存在断言可微，是两类核心错误。近似计算应选择靠近目标点且函数值容易算的展开点。

迁移到下一题

用全微分估算sqrt(4.04+0.03)，明确选择的基点和各变量增量，并与直接数值比较误差。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。