第九章 第二型曲线积分（数一）

接住上一课

第一型沿弧长累积且无方向，第二型积分Pdx+Qdy记录有向功，反向会整体变号，并可用Green公式转成区域积分。

教师带你完成主模型

单位圆C逆时针计算∮(-y dx+x dy)。Green公式给∂Q/∂x-∂P/∂y=1-(-1)=2，所以结果为2乘单位圆面积，即2π。顺时针则为-2π。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

Green公式要求正向闭曲线及区域内足够光滑。若曲线开放，可参数化直接算，或补线段闭合后减去补线积分。路径无关需检查恰当区域内P_y=Q_x及拓扑条件。

我会追问的易错点

方向遗漏、偏导差顺序反、开放曲线强套Green公式，是三类错误。场在区域内部有奇点时不能直接应用普通Green公式。

迁移到下一题

参数化单位圆直接计算本题并核对；再计算同一路径反向后的结果，明确参数上下限变化。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。