第八章 幂级数（数一、数三）

接住上一课

常数项级数只有下标变化，幂级数随x变化。标准流程是先求收敛半径，再分别代入两个端点，绝不把半径结论自动延伸到边界。

教师带你完成主模型

Σ_{n=1}∞x^n/n用比值法得到|x|<1，故半径R=1。x=1时为调和级数发散；x=-1时为交错调和级数收敛，所以收敛区间为[-1,1)。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

中心为x0时使用|x-x0|<R。幂级数在收敛区间内部可逐项求导积分，半径不变；端点行为可能变化。求和函数时常从几何级数出发运算。

我会追问的易错点

求出R后不查端点、混淆半径与区间长度、逐项运算后照搬旧端点，是三类高频错。端点必须逐个回到原级数审敛。

迁移到下一题

求Σ(x-2)^n/n的收敛区间，分别检查x=1和x=3；说明中心和平移对半径的影响。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 级数收敛指部分和有有限极限，通项趋0仅是必要条件；幂级数端点必须逐点判断。边界：比值判别极限为1时失效。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。