第三章 不定积分的计算

接住上一课

导数专项完成后反向寻找原函数。积分刷题先识别直接积分、换元、分部或有理分解，再用求导逐项验算。

教师带你完成主模型

求F'=2x+1且F(0)=3。积分得F=x²+x+C，代F(0)=3得C=3，所以F(1)=5。若只求不定积分必须保留+C；给定一个初值才确定原函数族中的唯一成员。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

复合函数配内层导数时用换元；乘积中一项求导变简单时用分部积分；有理函数先比较次数并分解。∫1/x dx=ln|x|+C，区间不能跨过0。

我会追问的易错点

漏积分常数、换元漏尺度因子、分部公式负号错、对数漏绝对值，是积分计算四错。若换元后仍混有新旧变量，说明替换没有完成。

迁移到下一题

分别计算∫x e^{x²}dx与∫x e^x dx，说明为什么前者用换元而后者用分部积分；最后求导验算。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。