第三章 定积分的计算

接住上一课

性质课能先化简，本课集中训练Newton-Leibniz、定积分换元和分部积分，并要求边界随变量同步变化。

教师带你完成主模型

计算∫_0^1 x e^{x²}dx。令u=x²、du=2x dx，旧边界x=0,1对应u=0,1，所以积分为(1/2)∫_0^1e^u du=(e-1)/2。也可求原函数后代原边界，但不能新变量配旧边界。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

定积分分部公式为[uv]_a^b-∫_a^b vdu。含周期和对称结构时先用性质减少运算。换元后选择全程使用新边界，或换回原变量使用旧边界，两套方式不可混搭。

我会追问的易错点

代上下限漏整体括号、换元不改边界、结果末尾写+C、分部积分边界项漏上下限，是四类常错。答案可用被积函数符号和最大值估计。

迁移到下一题

计算∫_0^1 x ln(1+x)dx，选择分部积分并处理剩余有理项；最后用数值范围检查正负与量级。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。