第二章 导数的应用

接住上一课

求导专项收口到函数性态。做题顺序是定义域、临界点、导数符号、极值，再处理二阶导、凹凸、拐点与渐近线。

教师带你完成主模型

f=x³-3x，f'=3(x²-1)，临界点±1。导数在(-∞,-1)正、(-1,1)负、(1,∞)正，因此x=-1为极大点，x=1为极小点，极小值f(1)=-2。结论来自符号变化，不是仅凭f'=0。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

闭区间最值还要比较端点。f''=0只给出拐点候选，需检查两侧凹凸是否改变。水平渐近线由x趋无穷的函数极限判定，垂直渐近线由有限点附近无界判定。

我会追问的易错点

把所有驻点当极值点、把所有二阶导零点当拐点、漏查不可导临界点和区间端点，是四类常错。应用题还应检查答案是否落在原定义域。

迁移到下一题

完整研究x⁴-2x²的单调、极值、凹凸和拐点，并利用偶函数对称性检查左右区间。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。