第二章 导数与微分的定义

接住上一课

连续专项完成后进入局部变化率。定义题不能只套求导表，尤其在分段点、绝对值点和参数点，差商左右极限才是最终裁判。

教师带你完成主模型

对f(x)=x³，在x=2按定义计算：[f(2+h)-f(2)]/h=[(2+h)³-8]/h=12+6h+h²，h→0得f'(2)=12。微分在该点的线性主部为dy=12dx。约去h只在h≠0的去心邻域合法。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

可导必连续，连续未必可导；|x|在0左右导数不同。分段函数要先确保连续，再分别计算左右导数。导数为有限实数才叫可导，所谓竖直切线对应差商无界，不满足通常可导定义。

我会追问的易错点

把导数定义中的增量分母写成x、先令h=0造成0/0、只算右导数，是定义题三错。微分不是独立于增量的常数，而是f'(x)dx这一线性表达。

迁移到下一题

按定义计算1/x在x=1的导数，并判断|x|与x^{1/3}在0的可导性；分别写左右差商证据。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。