第三章 定积分应用

接住上一课

计算专项进入几何与物理应用。先定义微元：面积取竖条或横条，体积取圆盘、垫片或柱壳，弧长取局部线段，再积分累积。

教师带你完成主模型

曲线y=sqrt(x)、0≤x≤1与x轴围成区域绕x轴旋转。圆盘半径R=sqrt(x)，体积V=π∫_0^1R²dx=π∫_0^1x dx=π/2。半径要平方，结果量纲为长度三次。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

两曲线面积用上减下并在交点分段。垫片体积为π∫(R²-r²)，柱壳为2π∫半径×高度。平均值需除区间长度，变力做功需建立力随位置的函数。

我会追问的易错点

函数中途换序却不分段、旋转体漏π或半径平方、把面积的绝对值留到积分外导致抵消，是应用题常错。画图和量纲检查能排除大量错误。

迁移到下一题

将y=x与y=x²之间区域绕x轴旋转，写垫片积分；再绕y轴写柱壳积分并验证两种描述对应不同旋转体。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。