第五章 偏导数的计算

接住上一课

定义课确认偏导的方向意义，本课训练复合函数、混合偏导与高阶偏导。计算中要标明先后顺序并检查交换条件。

教师带你完成主模型

z=e^{xy}。z_x=y e^{xy}，继续对y求导得z_xy=e^{xy}+xy e^{xy}，所以z_xy(0,1)=1。第一项来自对y求导，第二项来自指数内部xy。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若二阶混合偏导在点邻域连续，则z_xy=z_yx。复合函数z=f(u,v)、u=u(x,y)、v=v(x,y)使用多元链式法则，沿每条依赖路径求和。

我会追问的易错点

混合偏导顺序看错、乘积求导漏项、复合层漏内层偏导，是计算三错。符号下标从左到右或按教材约定解读，答题前保持一致。

迁移到下一题

对z=sin(xy)+x²y求z_x、z_y、z_xy，并在(0,1)代值；再由直接计算检查混合偏导相等。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。