第九章 第一型曲面积分（数一）

接住上一课

曲线积分沿一维对象累积，曲面积分沿二维曲面累积。第一型曲面积分按面积元dS计算，不依赖曲面定向。

教师带你完成主模型

半径2的球面Σ上计算∬_Σ1dS。被积函数为1，积分就是球面积4πR²=16π。若用参数化，应计算两个切向量叉积的模作为面积伸缩因子。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

图形曲面z=z(x,y)投影到xy平面时dS=sqrt(1+z_x²+z_y²)dxdy。投影区域必须与所取曲面片一致。闭曲面可分片，但每片边界不应重漏。

我会追问的易错点

把dS误当dxdy、漏根号面积因子、改变法向后错误变号，是第一型曲面积分三错。常数1积分等于曲面面积，可用于强校验。

迁移到下一题

计算平面z=x+y在单位正方形投影上∬1dS，写出面积因子并检查结果大于投影面积。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫_a^b f=F(b)-F(a)，其中F′=f；换元需同步改变微分与上下限。边界：反常积分必须用极限定义。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。