第七章 一阶微分方程求解

接住上一课

二重积分专项后进入微分方程。刷题第一步是识别可分离变量、一阶线性、齐次代换或伯努利结构，再执行对应算法。

教师带你完成主模型

解y'+2y=0、y(0)=3。分离变量得dy/y=-2dx，故y=Ce^{-2x}，由初值得C=3，所以y(1)=3e^{-2}。用积分因子e^{2x}也可得到(e^{2x}y)'=0。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

一阶线性标准式y'+P(x)y=Q(x)的积分因子为e^{∫Pdx}。若分离过程中除以含y表达式，要检查是否丢失令该因子为零的特殊解。求完必须代回方程与初值。

我会追问的易错点

积分因子漏积分、标准化前不除最高项系数、分离变量后两边积分常数重复，是三类常错。特解必须同时满足微分关系和初始条件。

迁移到下一题

求y'-y=e^x、y(0)=0，解释右端与齐次解同型时为什么出现xe^x，并代回验算。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。