第一章 连续与间断点

接住上一课

极限只描述靠近一点的趋势，连续还要求趋势与点值接上。专项题通常把参数、分段函数和间断类型放在一起，必须按左右极限、双侧极限、点值的顺序。

教师带你完成主模型

设f(x)=(e^{ax}-1)/x（x≠0），f(0)=2。由基本极限，x→0时分式极限为a，因此连续当且仅当a=2。若a≠2，左右极限仍存在且相等但不等于点值，所以0为可去间断点。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

左右极限有限但不等为跳跃间断；至少一侧无界为无穷间断；持续振荡为振荡间断。闭区间连续函数可用最值、介值和零点定理，但证明时要明确闭区间连续及端点符号等条件。

我会追问的易错点

认为任意间断都能补点、约分后自动赋予断点值、只算一侧极限，是三类常见错误。点值不影响去心极限，却决定连续性；这一逻辑必须在答案中显式写出。

迁移到下一题

讨论f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1的补点参数与间断类型，再与|x-1|/(x-1)比较为何后者不能补连续。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 高数计算遵循“识型—核条件—计算—反查”；反查可用定义、Taylor、求导、代回、量级或区域。边界：定理名称不能替代成立条件。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。