第一章 数列极限

接住上一课

函数极限训练结束后转入离散序列。数列题需要特别处理递推、求和、根式和振荡结构；同样先确认极限存在，再谈极限值。

教师带你完成主模型

求lim n(sqrt(n²+1)-n)。乘共轭后等于n/[sqrt(n²+1)+n]=1/[sqrt(1+1/n²)+1]，所以极限1/2。直接把两个无穷量相减没有意义，有理化把∞-∞转成稳定商。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

递推数列常用单调有界定理证明收敛后再代极限；含(-1)^n需检查奇偶子列。Stolz定理适用于相应的离散比值结构，但必须核验分母严格递增趋无穷等条件。

我会追问的易错点

只由前几项猜收敛、由有界单独推出收敛、把∞-∞按普通代数相消，是专项高频错。若奇偶子列极限不同，原数列立即发散，不需继续求公式。

迁移到下一题

计算lim n(sqrt(n²+a)-n)并讨论参数a；随后用结果预测a为负时充分大n的定义域与极限符号。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： x→0时sinx~x、e^x-1~x；洛必达仅用于0/0或∞/∞并满足邻域可导条件。边界：等价无穷小不能在发生抵消的和差中机械替换。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。