第五章 偏导数的定义及其计算

接住上一课

多元极限描述整体趋近，偏导把其他变量固定，只观察某一坐标方向的变化率。分段点和原点题必须回到偏导定义。

教师带你完成主模型

f=x²y，在(1,2)对x的偏导按公式为f_x=2xy，故f_x(1,2)=4。按定义也可计算[f(1+h,2)-f(1,2)]/h=4+2h，极限4。两条路线互相验证。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

求f_x时y暂视常数，求f_y时x暂视常数。偏导存在不保证连续或可微；只有在额外条件下，例如偏导在邻域存在并于点连续，才能推出可微。

我会追问的易错点

对x求偏导时同时对y求导、把方向导数与偏导混为一谈、由两个偏导存在直接推出可微，是概念三错。定义中的增量只能沿指定轴变化。

迁移到下一题

按定义求f(x,y)=|xy|在原点的两个偏导，再考察沿y=x的变化，说明偏导信息为何不足以描述全部方向。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。