连续与间断点基础篇

接住上一课

极限计算已经完成主要工具训练。现在把极限和函数点值接起来：极限回答靠近一点时的趋势，连续还要求这个趋势与该点真正取值一致。

教师带你完成主模型

f在x=a连续需要三件事同时成立：f(a)有定义、lim_{x→a}f(x)存在、二者相等。分段函数必须分别算左右极限。例：f(x)=sin x/x（x≠0），f(0)=c。因为lim sin x/x=1，只有c=1时在0连续。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

间断点先按证据分类：左右极限都有限且相等但不等于点值，是可去间断；左右极限有限但不相等，是跳跃间断；至少一侧趋无穷是无穷间断；极限持续振荡则为振荡间断。分类前先写左右极限。

我会追问的易错点

只看图像有断笔就下结论，或只算双侧形式而不检查左右，是最常见失分。点值不存在不妨碍极限存在，但一定妨碍该点连续。

迁移到下一题

判断 f(x)=(1-cos x)/x²（x≠0），f(0)=c 在0连续所需的c，并说明若c取其他值属于哪类间断。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。