幂指函数求极限基础篇

旧知与单一困难

旧知是指数与对数，新困难是1^∞、0^0、∞^0型。设y=f(x)^{g(x)}>0，取ln y=g(x)ln f(x)，先求指数极限A，再得y→e^A。

完整推导与例题

lim_{x→0}(1+2x)^{3/x}。ln y=(3/x)ln(1+2x)→(3/x)·2x=6，所以原极限e^6。

推导中必须标出展开阶数、适用型别和余项；数值验证只作校验，不能替代理论步骤。

错解反馈与迁移

错解把底数极限1和指数∞分别代入。迁移：lim_{x→∞}(1+a/x)^{bx}=e^{ab}。