实分析与测度论

先弄清集合函数为什么不能给所有集合随意赋予长度，再建立可运算的事件语言。

关联：章节 从集合函数与长度问题到 σ-代数

从区间覆盖出发，亲手走完外测度—可测性—完备测度的构造。

关联：章节 外测度与 Lebesgue 测度构造

把可数可加性变成极限工具，并理解何时由生成族唯一决定测度。

关联：章节 测度的连续性与唯一性

从前像判据进入逐点逼近，让函数变成可以积分的对象。

关联：章节 可测函数与简单函数逼近

按简单函数—非负函数—正负部分三步定义积分，每一步都说明为何良定义。

关联：章节 Lebesgue 积分从非负到可积

学会先检查条件再交换极限，并用反例定位每个条件的责任。

关联：章节 收敛定理与一致可积性

从几乎处处等价类出发建立范数空间，并把 Hölder、Minkowski 用到收敛控制。

关联：章节 Lp 空间与不等式

把二维问题拆成截面与迭代积分，严格区分非负和绝对可积两条路线。

关联：章节 乘积测度、Tonelli 与 Fubini

从绝对连续测度得到密度，把抽象测度比较连接到概率和变换。

关联：章节 Radon–Nikodym 与条件化思想

允许正负质量后，依靠 Hahn–Jordan 分解和全变差恢复稳定控制。

关联：章节 符号测度与变差

把抽象积分落到截断、平移、卷积与分化定理，为泛函分析建立技术接口。

关联：章节 逼近、微分与测度正则化

把测度论对象重新看成赋范空间、线性泛函和算子，为后续研究生课程搭桥。

关联：章节 通向泛函分析