Radon–Nikodym 与条件化思想

本章问题

从绝对连续测度得到密度，把抽象测度比较连接到概率和变换。

七步主线

1. 测度的绝对连续与奇异：ν≪μ 表示 μ 零集也是 ν 零集，奇异则集中在互斥载体；边界：函数绝对连续是另一概念。
2. Radon–Nikodym 定理陈述：σ-有限正测度下绝对连续测度存在几乎处处唯一密度；边界：密度不是处处唯一。
3. 有限测度情形证明路线：借 Hilbert 空间投影或极大化构造密度并排除剩余测度；边界：不能把表示定理当黑箱同时声称已证明。
4. Lebesgue 分解：一个 σ-有限测度分成相对 μ 的绝对连续与奇异两部分；边界：分解相对所选基准测度。
5. 概率密度与期望换测度：RN 导数是改变概率测度时重加权的核心；边界：权重为零处不可反向除。
6. 条件期望的 RN 定义：在子 σ-代数上把 A↦∫A X 定义的测度表示成密度；边界：条件期望不是逐点条件值。
7. 密度计算工作坊：先证绝对连续，再猜密度，最后对生成族验证积分恒等式；边界：只求导分布函数会漏掉原子部分。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。