符号测度与变差

本章问题

允许正负质量后，依靠 Hahn–Jordan 分解和全变差恢复稳定控制。

七步主线

1. 符号测度与禁止无穷减无穷：符号测度可取一侧无穷但不能同时出现正负无穷；边界：任意实值集合函数不是符号测度。
2. Hahn 分解：空间可分为正集和负集，分解在零集意义下唯一；边界：正集不是每个子集测度严格为正。
3. Jordan 分解：符号测度唯一写成互相奇异的两个正测度之差；边界：非互异分解不唯一。
4. 全变差测度：|ν|=ν+ +ν−，也刻画有限分割绝对值和的上确界；边界：|ν(A)| 通常不等于 |ν|(A)。
5. 有符号 RN 导数：ν≪μ 时密度可正可负，Jordan 分解对应密度正负部分；边界：可积性决定有限变差。
6. 复测度简介：复值可数可加集合函数用全变差控制并有极分解；边界：复测度不能按大小排序。
7. 变差控制证明工作坊：用 |∫f dν|≤∫|f|d|ν| 统一估计；边界：必须说明积分相对于哪个测度。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。