从集合函数与长度问题到 σ-代数

本章问题

先弄清集合函数为什么不能给所有集合随意赋予长度，再建立可运算的事件语言。

七步主线

1. 为什么需要新的积分语言：Riemann 分割擅长规则区间，却无法稳定处理稠密不连续和极限交换；边界：不要把不可 Riemann 积分误说成没有面积。
2. 集合运算与 limsup、liminf：把点是否最终出现翻译成集合序列的上极限和下极限；边界：集合极限不是端点的数值极限。
3. 代数、σ-代数与可数封闭：σ-代数允许补集和可数并，因而也允许可数交与差；边界：封闭性必须对任意可数族成立。
4. 生成 σ-代数与最小性：生成 σ-代数是包含生成族的所有 σ-代数之交；边界：不能只列几个显然集合就宣称最小。
5. Borel 集从开集生成：实线上开集可由有理端点区间可数生成，连接拓扑与测度；边界：Borel 集不等于 Lebesgue 可测集。
6. 可测空间与映射前像：可测性要求目标可测集的前像可测，前像保持集合运算；边界：不要用像集替代前像。
7. 第一章证明工作坊：把封闭性、最小性和前像三类证明写成逐行可审查论证；边界：只写‘显然’不能关闭可数性缺口。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。