收敛定理与一致可积性

本章问题

学会先检查条件再交换极限，并用反例定位每个条件的责任。

七步主线

1. 控制收敛定理：a.e. 收敛加统一可积控制函数推出积分收敛；边界：控制函数必须可积且独立于 n。
2. Egorov 定理与近一致收敛：有限测度空间上 a.e. 收敛可在删去任意小测度集合后变成一致收敛；边界：有限测度条件和删去坏集都不能省。
3. 依测度收敛：坏点集合的测度趋零，比 a.e. 收敛弱但适合概率语言；边界：不同 n 的坏点可以持续移动。
4. Riesz 子列原理：依测度收敛可抽出几乎处处收敛子列；边界：结论只保证子列。
5. 一致可积性：同时控制大函数值尾部，阻止质量逃向尖峰；边界：L1 有界本身不等于一致可积。
6. Vitali 收敛定理：依测度收敛加一致可积推出 L1 收敛；边界：必须明确有限测度或相应紧性条件。
7. 反例实验室：用尖峰、平移和振荡三类序列反查收敛定理条件；边界：只看图像不能代替定量验证。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。