外测度与 Lebesgue 测度构造

本章问题

从区间覆盖出发，亲手走完外测度—可测性—完备测度的构造。

七步主线

1. 覆盖与外测度：用可数区间覆盖总长度的下确界定义外测度；边界：某次覆盖长度不是外测度本身。
2. 外测度三公理：空集为零、单调性和可数次可加性来自覆盖拼接；边界：次可加不等于可加。
3. Carathéodory 可测性：可测集必须把每个测试集合的外测度精确切成内外两块；边界：只对区间测试不足以直接替代全体集合。
4. 可测集构成 σ-代数：先证补封闭和有限不交可加，再处理可数并；边界：不能跳过非不交集合的拆分。
5. 区间长度与平移不变性：证明构造出的测度确实延续普通长度且不依赖位置；边界：平移不变性不是定义后自动免费得到。
6. 零测集与完备化：零测集任意子集应可测，Lebesgue 完备化补上 Borel 测度缺口；边界：零测不等于空，也不等于可数。
7. 不可测集为何出现：选择公理和平移不变可数可加性共同逼出 Vitali 型矛盾；边界：不可测不是尚未算出测度。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。