可测函数与简单函数逼近

本章问题

从前像判据进入逐点逼近，让函数变成可以积分的对象。

七步主线

1. 可测函数的等价判据：只需检查实轴上一类生成射线的前像；边界：阈值方向与严格不等号要一致。
2. 连续函数与分段函数：连续函数 Borel 可测，零测集上的修改需看完备性；边界：处处极限与几乎处处极限不能混用。
3. 可测函数的代数闭包：和、积、绝对值、上下确界可由连续复合和极限保持可测；边界：商函数必须处理分母为零。
4. 简单函数及其标准表示：有限值可测函数可按互异值水平集唯一整理；边界：表示不唯一但标准水平集表示唯一。
5. 非负可测函数的单调逼近：用二进网格截断构造递增简单函数列；边界：逼近必须单调且逐点到达。
6. 可测极限与上下极限：函数列的 limsup、liminf 由可数 sup/inf 保持可测；边界：逐点收敛不提供积分收敛。
7. 几乎处处概念与版本：忽略零测集形成等价类，但代表函数仍可能点值不同；边界：a.e. 性质不能随意代入指定点。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。