通向泛函分析

本章问题

把测度论对象重新看成赋范空间、线性泛函和算子，为后续研究生课程搭桥。

七步主线

1. 赋范空间视角：Lp 完备性让极限过程留在空间内，范数编码可控误差；边界：点态距离不是 Lp 范数。
2. Hilbert 空间与正交投影：L2 内积带来正交、投影和最佳逼近；边界：一般 Lp 没有内积结构。
3. 连续线性泛函：有界性、连续性和有限算子范数等价；边界：线性但不连续的泛函在无限维可出现。
4. Riesz 表示的测度版本：正线性泛函可由测度积分表示，连接拓扑与测度；边界：需核对局部紧致、正性等版本条件。
5. 弱收敛与对偶测试：不追逐每点，而用所有连续线性泛函测试收敛；边界：弱收敛不推出范数收敛。
6. 从测度论到概率与 PDE：期望、条件期望、能量估计和弱解共享积分与函数空间语言；边界：会套定理不等于核对了可测性与边界条件。
7. 研究生级综合证明答辩：从定义、引理、主定理、反例到迁移应用组织完整论证；边界：必须区分已证结论、引用定理和待验证条件。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。