测度的连续性与唯一性

本章问题

把可数可加性变成极限工具，并理解何时由生成族唯一决定测度。

七步主线

1. 从下连续性：递增集合并的测度等于测度极限；边界：无需总测度有限。
2. 从上连续性：递减集合交可交换测度，但需首项有限；边界：漏掉有限性会得到无穷减无穷。
3. Borel-Cantelli 第一引理：测度和有限迫使几乎每点只出现有限次；边界：第一引理不需要独立性。
4. π 系与 λ 系：交封闭生成元配合 Dynkin 系把局部等式推广到 σ-代数；边界：π 系本身通常不是 σ-代数。
5. 测度唯一性定理：σ-有限条件下生成族上的一致决定整体一致；边界：无 σ-有限性时唯一性可能失败。
6. 正则性：内逼近与外逼近：用紧集从内、开集从外逼近可测集；边界：正则性依赖空间与测度条件。
7. 构造与唯一性综合证明：把存在性构造和唯一性论证明确分工；边界：证明存在不能代替证明唯一。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。