Lp 空间与不等式

本章问题

从几乎处处等价类出发建立范数空间，并把 Hölder、Minkowski 用到收敛控制。

七步主线

1. Lp 等价类与范数：零距离函数按 a.e. 相等识别后才得到真正范数；边界：把具体代表与等价类混淆会破坏正定性。
2. Hölder 不等式：共轭指数把乘积积分由两个范数控制；边界：p=1 与 p=∞ 要单独解释。
3. Minkowski 不等式：把 Hölder 用到 |f+g| 的幂，得到三角不等式；边界：不能把积分三角不等式误当点态等式。
4. 有限测度下的 Lq 包含：q 大的可积性在有限测度上推出 p 小的可积性；边界：无限测度时包含关系通常失败。
5. Lp 完备性：Cauchy 列可抽绝对可求和子列并构造 a.e. 极限；边界：只证点态极限存在还不够。
6. 稠密性与截断逼近：简单函数、有限支撑及适当光滑函数逐层逼近 Lp 元素；边界：p=∞ 的稠密结论不同。
7. 对偶性的入口：积分配对把 Lq 函数变成 Lp 上连续线性泛函；边界：完整对偶定理需要额外表示论证。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。