Lebesgue 积分从非负到可积

本章问题

按简单函数—非负函数—正负部分三步定义积分，每一步都说明为何良定义。

七步主线

1. 简单函数积分：系数乘水平集测度并求和，把有限加法变成积分；边界：负系数尚未进入非负定义。
2. 非负函数积分的上确界定义：取所有下方简单函数积分的上确界；边界：上确界可能为正无穷。
3. 单调收敛定理：非负递增函数列允许积分与极限交换；边界：非负和单调缺一不可。
4. Fatou 引理：下极限积分不超过积分下极限，是单调收敛的稳健推论；边界：不等式方向最容易写反。
5. 可积函数与正负部分：正负部分积分都有限时定义差，等价于绝对值可积；边界：有限积分值不自动代表可积。
6. 积分的绝对连续性：可积函数在小测度集合上的积分一致变小；边界：逐点小不等于积分小。
7. 与 Riemann 积分的相容：有界 Riemann 可积函数的 Lebesgue 积分一致；边界：Lebesgue 理论扩张而非否定 Riemann 理论。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。