逼近、微分与测度正则化

本章问题

把抽象积分落到截断、平移、卷积与分化定理，为泛函分析建立技术接口。

七步主线

1. 截断与局部化：先截函数值再截空间，把无限问题化为有限可控问题；边界：截断顺序与控制范数要写明。
2. 平移连续性：对 1≤p<∞，Lp 函数的小平移在范数中连续；边界：p=∞ 一般失败。
3. 近似恒等族：质量为一且集中到原点的核通过卷积逼近原函数；边界：核必须有统一质量和集中性。
4. Lebesgue 微分定理：局部平均几乎处处恢复函数值；边界：结论是几乎处处而非每点。
5. 绝对连续函数与积分表示：一维绝对连续等价于可积导数的积分恢复；边界：处处可导不足以推出绝对连续。
6. 分布函数与原子：单调函数诱导 Lebesgue–Stieltjes 测度，跳跃对应原子；边界：连续分布函数仍可能奇异。
7. Lusin 定理与连续近似：有限测度上的可测函数可在删去任意小测度集合后与连续函数一致；边界：连续近似只在大集合上一致，不是全空间逐点相等。

复习要求

闭卷重建定义、量词、关键引理、主定理与反例；每次引用定理都逐项核对条件。